为什么\lim_{x \to \infty} sin(\frac{1}{x})=0?
直观上的感觉是,x趋于无限大,它的导数便趋于0,于是sin(\frac{1}{x})也便趋于0,最终的极限结果就是0了。这似乎很简单。但如果基于数学分析的角度而言,这每一步的理所当然,都需要经过证明,所以对于数学分析而言,这个简单的极限的推导过程,并不轻松,而是要啰里啰唆的说上一大堆,才敢给出结论来的。
它大体上分为两步:1、首先证明\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} = 0;2、然后利用连续函数的复合法则,完成复合函数求极限。以下是每一步的细节:
一、首先使用\varepsilon – M语言证明\lim_{x \to \infty}\frac{1}{x}=0:
《普》中并未給出\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}=0的證明、甚至都沒有提到這一事實,它似乎是默認讀者知道且相信這一極限的結果。這個簡單的極限從直觀上也確實一目瞭然,但是在更嚴謹的數學教材中,其實是會通過\varepsilon-M語言對它進行證明的。\varepsilon-M語言和\varepsilon-\delta語言相似,都是極限論證語言。使用\varepsilon-M语言完成证明的过程如下:
1、首先观察原始的题目\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}=0,并且将原始题目调整一下写法:\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} \to 0;
2、这个新的写法不再使用“等号”,从而表达式的意思变成了:当自变量x趋于无限大时,结果(因变量)将趋于0。调整成这样的表达之后,假设这个结论是成立的,那么它将意味着计算的结果\frac{1}{x}与它所趋近于的数值0之间,是存在着一个距离的,而且这个距离可以表达出来,将这个距离表达为:\varepsilon = |\frac{1}{x} – 0|;
3、此时 \varepsilon 的含义就是“距离”,并且是 \frac{1}{x} 与 0 之间的距离。我们要证明的是,这个距离 \varepsilon 可以任意的小、随意的小,想要多小就多小。换言之,假设 \varepsilon 的确可以任意的小能够实现,意味着 \frac{1}{x} 与 0 可以无限接近,便可以将 \frac{1}{x} \to 0 视为 \frac{1}{x} = 0 了;
4、现在直接大胆的提出:当任意指定\varepsilon时,自变量 |x|>M 时,|\frac{1}{x} – 0|的结果就比\varepsilon还要小。能否找到这个大胆的想法中的M呢?显然是可以的,通过不等式简单的变换,就能确定M = \frac{1}{\varepsilon},也就是说自变量 |x|>\frac{1}{\varepsilon} 时的所有x取值,都可以满足 |\frac{1}{x} – 0| 的结果比\varepsilon还要小;
5、至此就可以得出结论:无论怎样小的 \varepsilon 指定,都有 M 范围选择点可明确出来。因而\frac{1}{x} \to 0可以实现,并且认为\frac{1}{x} = 0。此时的表达式便是:lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}=0。(这里似乎还缺少对下标 x \to \infty 的展开推导)。
二、连续函数的极限连续性:
上面仅仅才完成了 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}=0 的求证,并没有完成 lim_{x \to \infty} sin(\frac{1}{x})=0 的求证。所以还要继续第二步,通过 lim_{x \to \infty} f(x)=0 连续复合出 lim_{x \to \infty} g(f(x))=0 。
这里用到了一个连续函数的极限可复合的性质,本文暂不展开,仅先给出结论:
lim_{x \to \infty} g(f(x)) = g( lim_{x \to \infty} f(x)) ,将上面的计算结果带入到这个特性当中,可以得到如下的等式:
lim_{x \to \infty} sin(\frac{1}{x}) \\ = sin( lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}) \\ = sin(0) \\ = 0从而最终完成上面的计算(或证明,因为复合型并没有给出证明,所以暂且只能说是完成了计算)。
额外的:上面的原始问题是出现在《普林斯顿微积分读本》3.3章节中,并未给出证明,而在《高等数学》等传统教材中才有上述证明。在我阅读3.3章节时,又撇了一下3.2章节,其中也有一些困惑不太明确。
3.2章节中提到这样一句话:若 \lim_{x \to a-} f(x) = L 且 \lim_{x \to a+} f(x) = L,则认为 f(x) 在 x=a 处的双侧极限存在,即为 \lim_{x \to a} f(x) = L。
我的困惑是:若 \lim_{x \to a-} f(x) = L、\lim_{x \to a+} f(x) = L、f(x) \neq L,这种情况下,还能认为 \lim_{x \to a} f(x) = L么?
这个问题问了一下ChatGTP,它给我的答复是:
可以的,函数在 x=a 处的极限值仅依赖于函数在接近 a 时的趋势,而不是函数在 a 点的实际取值。因此,即便 f(a) \neq L,只要左右极限相等且等于 L,就可以认为 lim_{x \to a} f(x) = L。